Kurt Gödel, 20. yüzyıl matematiksel mantık tarihinin en önemli simalarındandır.
Gödel’i özgün kılan husus, matematiğin temelleri hakkında kanıtladığı teoremlerdir.
Kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiğe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiğin aksiyomlardan türetilen “doğru” önermelerinin, yani teoremlerin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı.
Böylece “doğruluk” ve kanıtlanabilirlik örtüştürülüyordu.
Matematiğin teoremlerinin doğru iseler doğrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doğru değilseler yine doğru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılığın tam olarak egemen olduğu kabul edilmişti.
Gödel, bu kabullerin ve beklentilerin sanıldığı gibi sağlam olmadığını yine matematikten yola çıkarak kesin olarak kanıtlamıştır.
Whitehead ve Russell’ın matematiğin mantıksal temelleri konusundaki anıtsal çalışması olan ‘Principia Mathematica’yı ele alarak, temellerin hep eksik kalacağını gösterdi.
Gödel, doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgede, karar verilemeyen önermeler olduğunu kanıtladı.
Yani bu önermeler ne kanıtlanabilirler ne de bunların biçimsel değillemeleri kanıtlanabilir.
Ama öte yandan, bu karar verilemeyen önermelerin doğru oldukları üst-matematiksel akıl yürütmelerle gösterilebilir.
Gödel ayrıca, doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgenin tutarlılığının, bu dizgenin içinde kanıtlanamayacağını da kanıtladı.
Gödel’in çalışmalarının sonuçları matematiğin kendi içsel sınırlılıkları olduğunu ortaya koymasıyla çok önemlidir.
İşte Ernest Nagel ve James R. Newman’ın bu çalışması da, Gödel’in yukarıda özetlediğimiz kanıtlaması üzerine yazılmış çok iyi bir kitap.
- Künye: Ernest Nagel ve James R. Newman – Gödel Kanıtlaması, çeviren: Bülent Gözkan, Alfa Yayınları, bilim, 136 sayfa, 2020
